구의 접평면과 단면

구 $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} + ( z - 1 ) ^{2} = 4$…㉠는 중심이 $C ( 1 , 1 , 1 )$이고 반지름의 길이가 2인 구이고 구 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 16$…㉡은 중심이 원점 $O ( 0 , 0 , 0 )$이고 반지름의 길이가 4인 구이다. 이때, $\displaystyle \overline{OC} = \sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2} + 1 ^{2}} = \sqrt{3}$ 이므로　㉠은 ㉡에 포함되고, ㉡의 중심은 ㉠에 포함된다. $\displaystyle \sqrt{3}$

따라서 ㉠에 접하는 평면이 ㉡과 만나서 생기는 도형은 원이고 넓이가 최대가 되려면 점 O에서 평면 사이의 거리가 가장 짧아야 한다. 즉, 두 구의 중심 $C , O$ 를 지나는 직선과 구 ㉠과의 교점 중에서 점 O에 가까운 점을 P라 하면 점 P가 평면의 접점이 될 때이다. 이때, 단면이 나타내는 원의 반지름의 길이를 $r$라 하면 $\displaystyle r ^{2} = 4 ^{2} - ( 2 - \sqrt{3} ) ^{2}$ $\displaystyle = 16 - ( 7 - 4 \sqrt{3} ) = 9 + 4 \sqrt{3}$ 따라서, 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \pi r ^{2} = \pi ( 9 + 4 \sqrt{3} )$ $\therefore$ $a + b = 13$