구간별 삼차함수 극댓값

[출제의도] 함수의 극대와 극소를 활용하여 문제 해결하기 함수 $f \left( x \right)$가 극값을 가지므로 함수 $f \left( x \right)$가 $x = \alpha$에서 극댓값을 갖고 $x = \beta$에서 극솟값을 갖는다고 하자.

(ⅰ) $\alpha < \beta \leq \mathit{-} 2$인 경우 $x \geq \mathit{-} 2$에서 함수 $g \left( x \right)$는 증가한다. $f \left( - 2 \right) < g \left( - 2 \right) < g \left( 2 \right)$ $g \left( 2 \right) \ne f \left( - 2 \right)$이므로 모순 (ⅱ) $\alpha < \mathit{-} 2 < \beta$인 경우 방정식 $g \left( x \right) = f \left( - 2 \right)$의 실근이 열린구간 $\left( - \infty , \alpha \right)$에서 존재하므로 모순 (ⅲ) $\alpha = \mathit{-} 2$인 경우 방정식 $g \left( x \right) = f \left( - 2 \right)$의 실근이 $2$뿐이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 극솟값을 갖는다. $f' \left( x \right) = 3 \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right)$ $\displaystyle f \left( x \right) = x ^{3} - 12 x + \frac{1}{2}$ $g \left( 2 \right) \ne f \left( - 2 \right)$이므로 모순 (ⅳ) $- 2 < \alpha < \beta$인 경우 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$g \left( 2 \right) = f \left( - 2 \right)$이므로 $f \left( 2 \right) + 8 = f \left( - 2 \right)$ $\displaystyle f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + \frac{1}{2}$$\displaystyle ( \begin{matrix} \end{matrix}$$a$, $b$는 상수$\displaystyle \begin{matrix} ) \end{matrix}$$\displaystyle \begin{matrix} \end{matrix}$라 하자. $\displaystyle 8 + 4 a + 2 b + \frac{1}{2} + 8 = \mathit{-} 8 + 4 a - 2 b + \frac{1}{2}$ $b = \mathit{-} 6$, $\displaystyle f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} - 6 x + \frac{1}{2}$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax - 6$ 함수 $f \left( x \right)$가 $x = 2$에서 극솟값을 가지므로 $f' \left( 2 \right)$$= 12 + 4 a - 6 = 0$, $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{3}{2}$ $\displaystyle f \left( x \right) = x ^{3} - \frac{3}{2} x ^{2} - 6 x + \frac{1}{2}$이므로 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 3 x - 6 = 3 \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right)$ 함수 $f \left( x \right)$는 $x = \mathit{-} 1$에서 극댓값을 갖는다. 따라서 극댓값은 $f \left( - 1 \right) = 4$