구간별 이차함수와 직선

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용한 문제 해결하기 함수 $\displaystyle h \left( x \right) = {\begin{cases} \begin{matrix} f \left( x \right) \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \left( x \leq - 2 \text{또는} x \geq 1 \right) \\ \end{matrix} \\ g \left( x \right) & \left( - 2 < x < 1 \right) \end{cases}}$ 의 그래프를 그리면 아래의 그림과 같다.

$y = h \left( x \right)$

직선 $y = mx + 6$의 $y$절편은 $6$이다. $y$절편이 $6$인 직선의 기울기를 변화시키며 그래프를 그려보면

직선 $y = mx + 6$과 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만나는 경우는 다음 두 가지뿐이다. (ⅰ) $y = mx + 6$이 점 $\left( - 2 , 1 \right)$을 지나는 경우

$y = mx + 6$에 점 $\left( - 2 , 1 \right)$을 대입하면 $1 = \mathit{-} 2 m + 6$, $\displaystyle m = \frac{5}{2}$이다. (ⅱ) $y = mx + 6$이 $y = g \left( x \right)$에 접하는 경우 이차방정식 $- x ^{2} + 5 = mx + 6$, $x ^{2} + mx + 1 = 0$의 판별식 $D = m ^{2} - 4 = 0$이므로 $m = \mathit{\pm} 2$이다. $m = 2$인 경우, 아래의 그림과 같이 직선 $y = mx + 6$과 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프는 점 $\left( - 1 , 4 \right)$를 포함한 서로 다른 세 점에서 만난다.

$m = \mathit{-} 2$인 경우, 아래의 그림과 같이 직선 $y = \mathit{-} 2 x + 6$과 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프는 점 $\left( 1 , 4 \right)$를 포함한 서로 다른 두 점에서 만난다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 모든 $m$의 값은 $\displaystyle \frac{5}{2}$, $2$이다. $\displaystyle S = \frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}$이므로 $\displaystyle 10 S = 10 \times \frac{9}{2} = 45$이다.