구간별 함수의 연속 조건

$g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 $f ( x )$는 $x - 1$을 인수로 가지고 나머지는 허근이 존재해야 한다. 따라서 $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x ^{2} + 3 x + a )$에서 $x ^{2} + 3 x + a = 0$의 판별식 $D < 0$이어야 한다. 즉, ${D} = 9 - 4 a < 0$이므로 $\displaystyle a > \frac{9}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $f ( x ) = 0$일 때 연속이어야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{x - 1}{f ( x )} = \frac{1}{n}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{x - 1}{f ( x )}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 3 x + a )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x ^{2} + 3 x + a}$ $\displaystyle = \frac{1}{4 + a}$ 즉, $\displaystyle \frac{1}{4 + a} = \frac{1}{n}$이므로 $4 + a = n$ $\therefore$ $a = n - 4$ ㉠에 대입하면 $\displaystyle n - 4 > \frac{9}{4}$이므로 $\displaystyle n > \frac{25}{4}$ 따라서 자연수 $n$의 최솟값은 $7$