미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출기본 문제 (3점 중반)

구간별 함수의 연속

문제

함수 f(x)f \left( x \right)={x2+3x+ax−2(x<2)−x2+b(x≥2)\displaystyle = {\begin{cases} \begin{aligned} \frac{x ^{2} + 3 x + a}{x - 2} \\ \end{aligned} & \begin{aligned} \left( x < 2 \right) \\ \end{aligned} \\ - x ^{2} + b & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}} 가 xx=2= 2에서 연속일 때, a+ba + b의 값은? (단, a,ba , b는 상수이다.) [3점] ①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

[출제의도] 함수의 연속을 활용하여 문제해결하기 함수 f(x)f ( x )가 x=2x = 2에서 연속이므로 f(2)f ( 2 )=lim⁡x→2+f(x)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {} f ( x )=lim⁡x→2−f(x)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} f ( x ) f(2)f ( 2 )=lim⁡x→2+f(x)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {} f ( x )=b−4= b - 4이므로 lim⁡x→2−f(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} f ( x )=lim⁡x→2−x2+3x+ax−2\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \frac{x ^{2} + 3 x + a}{x - 2}=b−4= b - 4 lim⁡x→2−(x−2)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} ( x - 2 ) = 0이므로 lim⁡x→2−(x2+3x+a)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} ( x ^{2} + 3 x + a ) = 0 a+10=0a + 10 = 0에서 a=−10a = - 10 lim⁡x→2−x2+3x−10x−2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \frac{x ^{2} + 3 x - 10}{x - 2}=lim⁡x→2−(x−2)(x+5)x−2\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \frac{( x - 2 ) ( x + 5 )}{x - 2}=7= 7이므로 b−4=7,b=11b - 4 = 7 , b = 11 따라서 a+b=−10+11=1a + b = - 10 + 11 = 1

태그

#함수의 연속#극한

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