미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구간별 함수의 미분가능성

문제

함수 f(x)={x3−ax2+bx(x≤1)2x+b(x>1)\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{3} - ax ^{2} + bx _{{} _{{} _{}}} & \left( x \leq 1 \right) _{{} _{{} _{}}} \\ 2 x + b _{} & \left( x > 1 \right) ^{{} _{{} _{{} _{}}} ^{}} \end{cases}} 이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, a×ba \times b의 값은? (단, aa와 bb는 상수이다.) [3점] ①−3- 3②−1- 1③11④33⑤55

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④

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해설

[출제의도] 미분가능성 이해하기 f(x)f \left( x \right)는 x=1x = 1에서 미분가능하므로 x=1x = 1에서 연속이다. 즉, lim⁡x→1+f(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f \left( x \right)}=lim⁡x→1−f(x)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f \left( x \right)}=f(1)= f \left( 1 \right) lim⁡x→1+f(x)=2+b\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f \left( x \right)} = 2 + b, lim⁡x→1−f(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f \left( x \right)}=f(1)= f \left( 1 \right)=1−a+b= 1 - a + b이므로 2+b=1−a+b2 + b = 1 - a + b에서 a=−1a = \mathit{-} 1 f(x)f \left( x \right)는 x=1x = 1에서 미분가능하므로 lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1+f(x)−f(1)x−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}} lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}}=3−2a+b= 3 - 2 a + b=5+b= 5 + b lim⁡x→1+f(x)−f(1)x−1=2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}} = 2 5+b=25 + b = 2에서 b=−3b = \mathit{-} 3 따라서 a×b=3a \times b = 3

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#미분가능성#구간별 함수

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