미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구간별 함수의 미분가능성

문제

삼차식 f(x)f ( x )에 대하여 함수 g(x)g ( x )를

g(x)={\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} \\ \\ \\ \end{cases}33(x<−1)( x < - 1 )
f(x)f ( x )(−1≤x≤1)( - 1 \leq x \leq 1 )
−1- 1(x>1)( x > 1 )

로 정의하자. 함수 g(x)g ( x )가 모든 실수에서 미분가능할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. g′(−1)=g′(1)g' ( - 1 ) = g' ( 1 ) ㄴ. 모든 실수 xx에 대하여 g′(x)≤0g' ( x ) \leq 0 ㄷ. 함수 g′(x)g' ( x )의 최솟값은 −2- 2이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

f′(x)=k(x−1)(x+1)f' ( x ) = k ( x - 1 ) ( x + 1 )이고 f(−1)=3f ( - 1 ) = 3, f(1)=−1f ( 1 ) = - 1 ∴f(x)=x3−3x+1f ( x ) = x ^{3} - 3 x + 1, f′(x)=3x2−3f' ( x ) = 3 x ^{2} - 3 g′(x)={0(x<−1,x>1)3x2−3(−1≤x≤1)\displaystyle g' ( x ) = \begin{cases} 0 & ( x < - 1 , x > 1 ) \\ 3 x ^{2} - 3 & ( - 1 \leq x \leq 1 ) \end{cases}에서 ㄴ. g′(x)≤0g' ( x ) \leq 0 (참) ㄷ. g′(x)≥−3g' ( x ) \geq - 3이므로 g′(x)g' ( x )의 최솟값은 −3- 3 (거짓)

태그

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