구간별 함수의 미분가능성

$h ( 0 ) = 0$에서 $f ( x )$와 $g ( x )$는 $x = 0$에서 교점을 갖는다. $h ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $x = 0$에서 $f ( x )$와 $g ( x )$는 서로 접해야 한다. 아래 그림의 (a)처럼 접하면 $h ( x )$는 $x < 0$에서 미분가능하지 않은 경우가 생기므로 (b)처럼 접해야 한다. $g ( x ) = mx + n$이라 하면

$f ( x ) - g ( x ) = f ( x ) - mx - n = x ^{2} ( x - k )$으로 놓을 수 있다. (b)의 경우 $f ( x )$와 $g ( x )$가 접하는 점을 제외하고 만나는 점의 $x$좌표를 $k$라 하자. (ⅰ) $k < 1$이면 $x \rightarrow 1 -$일 때 $h ( x ) = f ( x ) - g ( x )$ $x \rightarrow 1 +$일 때 $h ( x ) = f ( x ) + g ( x )$ $f ( 1 ) - g ( 1 ) = f ( 1 ) + g ( 1 )$에서 $g ( 1 ) = 0$이고 $f' ( 1 ) - g' ( 1 ) = f' ( 1 ) + g' ( 1 )$ 에서 $g' ( 1 ) = 0$이다. $g' ( 1 ) = 0$이면 $g ( x )$는 일차함수가 아니므로 조건에 맞지 않는다. (ⅱ) $k \geq 1$이면 $\displaystyle h ( x ) = \begin{cases} g ( x ) - f ( x ) ( x < 1 ) \\ f ( x ) + g ( x ) ( x \geq 1 ) \end{cases}$ $h ( x )$가 $x = 1$에서 연속이고 미분가능하므로 $g ( 1 ) - f ( 1 ) = f ( 1 ) + g ( 1 )$에서 $f ( 1 ) = 0$이고 $g' ( 1 ) - f' ( 1 ) = f' ( 1 ) + g' ( 1 )$ 에서 $f' ( 1 ) = 0$이다. 따라서 $f ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} ( x + a )$, $g ( x ) = px + q$로 놓을 수 있다. $f' ( x ) = 2 ( x - 1 ) ( x + a ) + ( x - 1 ) ^{2}$ $g' ( x ) = p$ $f ( 0 ) = g ( 0 )$, $f' ( 0 ) = g' ( 0 )$에서 $a = q , - 2 a + 1 = p$ $h ( 2 ) = f ( 2 ) + g ( 2 ) = 2 + a + 2 p + q = 5$ 이상에서 $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$, $p = 2$, $\displaystyle q = - \frac{1}{2}$ $\displaystyle f ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} \left( x - \frac{1}{2} \right)$, $\displaystyle g ( x ) = 2 x - \frac{1}{2}$ 이므로 $h ( 4 ) = f ( 4 ) + g ( 4 ) = 39$