구간별 함수의 미분가능

[출제의도] 미분계수 이해하기 함수 $f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 미분가능하다. 그러므로 함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f \left( x \right) = f \left( 1 \right)$에서 $a + b + 1 = - 3 b - 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \frac{\left( ax ^{2} + bx + 1 \right) - \left( - 3 b - 1 \right)}{x - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \frac{ax ^{2} + bx + 3 b + 2}{x - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \frac{\left( - 4 b - 2 \right) x ^{2} + bx + 3 b + 2}{x - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \frac{\left( x - 1 \right) \left\{ \left( - 4 b - 2 \right) x - 3 b - 2 \right. x - 1}{}$ $= - 7 b - 4$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} \frac{( - 3 b x - 1 ) - ( - 3 b - 1 )}{x - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \frac{- 3 b \left( x - 1 \right)}{x - 1} = - 3 b$ 함수 $f ( x )$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 $- 7 b - 4 = - 3 b$에서 $b = - 1$, $a = 2$ 따라서 $a + b = 1$