구간별 함수 넓이

$\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} \frac{3}{a} x ^{2} & & & ( - a \leq x \leq a ) \\ 3 a & & & ( x < \mathit{-} a \text{또는} x > a ) \end{cases}$ 의 그래프는 $y$축 대칭함수이므로 $y = f ( x )$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x = \mathit{-} 3$, $x = 3$으로 둘러싸인 넓이가 $8$이면 $y = f ( x )$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x = 0$, $x = 3$으로 둘러싸인 넓이가 $4$이다. $x \geq 0$일 때 $y = f ( x )$의 그래프를 그려보면 다음과 같다. (ⅰ) $a \geq 3$일 때

$\displaystyle \int _{0} ^{3} {\frac{3}{a} x ^{2} dx = \left[ \frac{x ^{3}}{a} \right] _{0} ^{3} = \frac{27}{a} = 4}$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{27}{4}$ (ⅱ) $0 < a < 3$일 때

$\displaystyle \int _{0} ^{a} {\frac{3}{a} x ^{2} dx + ( 3 - a ) \times 3 a}$ $\displaystyle = \left[ \frac{x ^{3}}{a} \right] _{0} ^{a} + 9 a - 3 a ^{2}$ $= \mathit{-} 2 a ^{2} + 9 a$ $= 4$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ ($\because 0 < a < 3$) (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 만족하는 $a$는 $\displaystyle \frac{27}{4} , \frac{1}{2}$이므로 모든 $a$값의 합 $S$는 $\displaystyle S = \frac{29}{4}$ $\therefore$ $\displaystyle 40 S = 40 \times \frac{29}{4} = 290$