구간별 함수 미분가능

함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $x = a$에서 미분가능하다. (ⅰ) 함수 $f \left( x \right)$가 $x = a$에서 미분가능하므로 $x = a$에서 연속이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow a +} f \left( x \right) = f \left( a \right)$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow a -} \left( x ^{2} - 2 x \right) = a ^{2} - 2 a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow a +} \left( 2 x + b \right) = 2 a + b$ $f \left( a \right) = 2 a + b$ $\therefore$$a ^{2} - 2 a = 2 a + b$, $b = a ^{2} - 4 a$ $\cdots \cdots$ ㉠ (ⅱ) 함수 $f \left( x \right)$가 $x = a$에서 미분가능하여야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} \frac{f \left( x \right) - f \left( a \right)}{x - a}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a -} \frac{x ^{2} - 2 x - \left( 2 a + b \right)}{x - a}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a -} \frac{x ^{2} - 2 x - a \left( a - 2 \right)}{x - a}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a -} \frac{\left( x - a \right) \left( x + a - 2 \right)}{x - a}$ $= 2 a - 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} \frac{f \left( x \right) - f \left( a \right)}{x - a}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a +} \frac{2 x + b - \left( 2 a + b \right)}{x - a}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a +} \frac{2 \left( x - a \right)}{x - a}$ $= 2$ 따라서 $2 a - 2 = 2$에서 $a = 2$를 ㉠에 대입하면 $b = \mathit{-} 4$ 이상에서 $a + b = \mathit{-} 2$