구간별 함수 미분가능

[출제의도] 구간별로 정의된 함수가 구간의 경계에서 미분가능할 조건을 구할 수 있는가? 함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 미분가능하므로 $x = 1$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f ( x ) = f ( 1 )}}$ 즉, $a + 1 = 1 + a$ 또한, $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} ax ^{2} + 1 & ( x < 1 ) \\ x ^{4} + a & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$ 에서 미분계수 $f' \left( 1 \right)$이 존재해야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{ax ^{2} + 1 - \left( a + 1 \right)}{x - 1}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\frac{a \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {a \left( x + 1 \right) = 2 a}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{x ^{4} + a - \left( 1 + a \right)}{x - 1}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{\left( x ^{2} + 1 \right) \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\left\{ \left( x ^{2} + 1 \right) \left( x + 1 \right) \right\} = 4}$ 이므로 $2 a = 4 , a = 2$