미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구간별 함수 미분가능

문제

삼차함수 f(x)=x3+3x2−9xf ( x ) = x ^{3} + 3 x ^{2} - 9 x에 대하여 함수 g(x)g ( x )를 g(x)={f(x)(x<a)m−f(x)(a≤x<b)n+f(x)(x≥b)\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} f ( x ) & ( x < a ) \\ m - f ( x ) & ( a \leq x < b ) \\ n + f ( x ) & ( x \geq b ) \end{cases} 로 정의한다. 함수 g(x)g ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 미분가능하도록 상수 aa, bb와 mm, nn의 값을 정할 때, m+nm + n의 값을 구하시오. [4점]

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118

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해설

함수 g(x)g ( x )는 연속이고 미분가능하므로 f(a)=m−f(a)f ( a ) = m - f ( a ), m−f(b)=n+f(b)m - f ( b ) = n + f ( b ) ……㉠ g′(x)={f′(x)(x<a)−f′(x)(a≤x<b)f′(x)(x≥b)\displaystyle g' ( x ) = \begin{cases} f' ( x ) & ( x < a ) \\ - f' ( x ) & ( a \leq x < b ) \\ f' ( x ) & ( x \geq b ) \end{cases} f′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)f' ( x ) = 3 x ^{2} + 6 x - 9 = 3 ( x + 3 ) ( x - 1 ) 따라서 극대값은 f(−3)=27f ( - 3 ) = 27, 극소값은 f(1)=−5f ( 1 ) = - 5 ㉠에서 m=2f(−3)=54m = 2 f ( - 3 ) = 54, n=m−2f(1)=54+10=64n = m - 2 f ( 1 ) = 54 + 10 = 64이므로 a=−3,b=1,m=54,n=64a = - 3 , b = 1 , m = 54 , n = 64 ∴ m+n=118m + n = 118

태그

#미분가능성#연속

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