구간별 함수 미분가능

함수 $f ( x )$가 $x = 1$에서 미분가능하면 $f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. $f ( 1 ) = b + 4$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+} {\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+} {\frac{bx + 4 - b - 4}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+} {\frac{b ( x - 1 )}{x - 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+} {b} = b$ ⋯ ㉠ 이고 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-} {\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-} {\frac{x ^{3} + ax + b - b - 4}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-} {\frac{x ^{3} + ax - 4}{x - 1}}$ ⋯ ㉡ 이다. 함수 $f ( x )$가 $x = 1$에서 미분가능하려면 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} {\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}}$의 값이 존재해야 하므로 ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-} {\frac{x ^{3} + ax - 4}{x - 1}} = b$ ⋯ ㉢ 이어야 한다. 이때 $x \rightarrow 1 -$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 ㉢이 수렴하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-} {( x ^{3} + ax - 4 )} = 1 + a - 4 = 0$에서 $a = 3$ 이때 ㉢에서 $\displaystyle b = \lim\limits _{x\rightarrow 1-} {\frac{x ^{3} + 3 x - 4}{x - 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-} {\frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 4 )}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-} {( x ^{2} + x + 4 )}$$= 1 ^{2} + 1 + 4$$6$ 따라서 $a + b = 3 + 6 = 9$