구간별 함수 조건

[출제의도] 사이값 정리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(i) $a > 2$인 경우 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle 0 < x < 1 + \frac{a}{2}$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) > 0$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ii) $0 < a < 2$인 경우 함수 $f ( x )$는 닫힌 구간 $\displaystyle \left[ 0 , 1 + \frac{a}{2} \right]$에서 연속이고, $f ( 0 ) > 0$, $\displaystyle f \left( 1 + \frac{a}{2} \right) < 0$이므로 사이값 정리에 의하여 $0$과 $\displaystyle 1 + \frac{a}{2}$ 사이에 $f ( c ) = 0$인 $c$가 적어도 하나 존재한다. 조건 (나)에 의해 $0 < a < 2$인 경우의 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( 2 - a ) \times \left\{ - f \left( 1 + \frac{a}{2} \right) \right\}$ $\displaystyle = - \frac{1}{2} \times ( 2 - a ) \times \left( \frac{a - 2}{2} \right) \left( \frac{2 - a}{2} \right)$ $\displaystyle = {\frac{1}{8}} ( 2 - a ) ^{3} = {\frac{1}{8}}$ $( 2 - a ) ^{3} = 1$, 즉 $a = 1$ 따라서 $f ( 3 a ) = f ( 3 ) = 2$