구간별 함수 극댓값

$\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} a \left( 3 x - x ^{3} \right) & \left( x < 0 \right) \\ x ^{3} - ax & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$에서 $\displaystyle f' \left( x \right) = {\begin{cases} a \left( 3 - 3 x ^{2} \right) & \left( x < 0 \right) \\ 3 x ^{2} - a & \left( x > 0 \right) \end{cases}}$이다. $a$의 부호에 따라서 도함수의 그래프가 달라지기 때문에 $a$의 범위를 나누어야 한다. (i) $a = 0$일 때는 $\displaystyle f' \left( x \right) = {\begin{cases} 0 & \left( x < 0 \right) \\ 3 x ^{2} & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$이 되어서 $f \left( x \right)$의 극댓값이 발생하지 않는다. (ii) $a > 0$일 때는 $\displaystyle x = - 1 , \sqrt{\frac{a}{3}}$에서 $f \left( x \right)$가 극솟값을 가지고 $x = 0$에서 극댓값을 가지지만 그 값이 0이므로 문제의 조건을 만족시키지 못한다. (iii) $a < 0$일 때는 $x = - 1$에서 극댓값을 갖는다. 이상에서 $f \left( - 1 \right) = a \left( - 3 + 1 \right) = 5$, $\displaystyle a = - \frac{5}{2}$이다. $\displaystyle \therefore f \left( 2 \right) = 2 ^{3} + \frac{5}{2} \cdot 2 = 13$