구간별 도함수와 정적분

[출제의도] 부정적분의 성질을 활용하여 문제를 해결한다. $F ( x )$는 함수 $f ( x )$의 한 부정적분이므로 $F ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} - x ^{2} + C _{1} {}_{} & ( x < 0 ) _{} \\ k \left( x ^{2} - \frac{1}{3} x ^{3} \right) ^{} + C _{2} & ( x \geq 0 ) ^{} \end{cases}}$ (단, $C _{1}$, $C _{2}$는 적분상수) 그런데 $F ( x )$가 $x$$= 0$에서 미분가능하므로 $C _{1}$$= C _{2}$ 즉, $F ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} - x ^{2} + C _{1} {}_{} & ( x < 0 ) _{} \\ k \left( x ^{2} - \frac{1}{3} x ^{3} \right) ^{} + C _{1} & ( x \geq 0 ) ^{} \end{cases}}$ 그러므로 $F ( 2 ) - F ( - 3 )$$= 21$에서 $\displaystyle \left( \frac{4}{3} k + C _{1} \right) - ( - 9 + C _{1} )$$= 21$ 따라서 $k$$= 9$ [다른 풀이] $F ( x )$는 함수 $f ( x )$의 한 부정적분이므로 $F ( 2 ) - F ( - 3 )$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} F ( x ) \end{array} \right] _{- 3} ^{2}$$\displaystyle = \int _{- 3} ^{2} {f ( x )} dx$ $\displaystyle \int _{- 3} ^{2} {} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{- 3} ^{0} {} f ( x ) dx + \int _{0} ^{2} {} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{- 3} ^{0} ( {- 2 x} ) dx + \int _{0} ^{2} {k \left( 2 x - x ^{2} \right)} dx$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - x ^{2} \end{array} \right] _{- 3} ^{0} + k \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} x ^{2} - \frac{1}{3} x ^{3} \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = 9 + \frac{4}{3} k$$= 21$ 따라서 $k$$= 9$