구간별 도함수와 적분 최대

$\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} f' ( x ) dx = f \left( \frac{\pi}{2} \right) - f ( 0 ) = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} l \cos x dx = l$ $\displaystyle \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} f' ( x ) dx = f \left( \pi \right) - f \left( \frac{\pi}{2} \right) = \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} m \cos x dx = \mathit{-} m$ $\displaystyle \int _{\pi} ^{\frac{3}{2} \pi} f' ( x ) dx = f \left( \frac{3}{2} \pi \right) - f ( 0 ) = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} n \cos x dx = \mathit{-} n$ $\displaystyle f ( 0 ) = 0 , f \left( \frac{3}{2} \pi \right) = 1$이므로 $y = f ( x )$의 그래프는 아래와 같다.

$\displaystyle f \left( \frac{3}{2} \pi \right) = 1$에서 $l - m - n = 1 ( l , m , n > 0 )$이므로 $l + m + n \leq 10$에서 $2 l \leq 11$이다. 따라서 정수 $l$의 최댓값은 $5$이고 $m + n = 4$이다. $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{3}{2} \pi} f ( x ) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {} l \sin x dx + \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\pi} {} ( m \sin x + l - m ) dx + \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\frac{3}{2} \pi} {} ( n \sin x + l - m - n ) dx$ $\displaystyle = l + \left\{ ( - m ) + \frac{\pi}{2} ( l - m ) \right| + \left\{ ( - n ) + \frac{\pi}{2} ( l - m - n ) \right\}$ $\displaystyle = ( l - m - n ) \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) + ( l - m ) \frac{\pi}{2}$ ( $l - m - n = 1$이므로) $\displaystyle = \left( 1 + \frac{\pi}{2} \right) + ( l - m ) \frac{\pi}{2}$ $l - m$이 최대가 되어야 하므로 $m = 1$이고 $m + n = 4$이므로 $n = 3$이다. 따라서 $l + 2 m + 3 n = 5 + 2 + 9 = 16$이다.