구간별 도함수와 함숫값

[출제의도] 연속의 정의를 이해하고 도함수가 주어진 함수의 부정적분을 구한다. ⅰ) $x \leq 1$일 때, $f' ( x ) = e ^{x - 1}$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \int _{} ^{} {e ^{x - 1}} dx = e ^{x-1} + C _{1}$ ($C _{1}$은 적분상수) ⅱ) $x > 1$일 때 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{1}{x}$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \int _{} ^{} {\frac{1}{x} dx = \ln x + C _{2}}$ ($C _{2}$는 적분상수) $f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f ( x )}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {( e ^{x - 1} + C _{1} ) = 1 + C _{1}}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {( \ln x + C _{2} ) = C _{2}}}$ 따라서 $1 + C _{1} = C _{2}$ $\displaystyle f ( - 1 ) = e + \frac{1}{e ^{2}}$에서 $\displaystyle \frac{1}{e ^{2}} + C _{1} = e + \frac{1}{e ^{2}}$이므로 $C _{1} = e$, $C _{2} = e + 1$ 따라서 $f ( e ) = \ln e + ( e + 1 ) = e + 2$