구간별 최대 최소 조건

조건 (가), (나)에 의하여 $0 \leq x \leq 3$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값과 $0 \leq x \leq 5$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값이 $m$으로 같으므로 $0 < p \leq 3$, $q = m$ $f \left( x \right) = \left( x - p \right) ^{2} + m$ (ⅰ) $\displaystyle 0 < p \leq \frac{3}{2}$인 경우 조건 (가)에 의하여 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 3$에서 최댓값을 갖는다. $f \left( 3 \right) = \left( 3 - p \right) ^{2} + m = m + 4$ $\left( 3 - p \right) ^{2} = 4$ $\displaystyle 0 < p \leq \frac{3}{2}$이므로 $p = 1$ $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2} + m$ 조건 (나)에 의하여 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 5$에서 최댓값을 갖는다. $f \left( 5 \right) = \left( 5 - 1 \right) ^{2} + m = 4 m$, $\displaystyle m = \frac{16}{3}$ $m$이 자연수라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle \frac{3}{2} < p \leq 3$인 경우 조건 (가)에 의하여 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 0$에서 최댓값을 갖는다. $f \left( 0 \right) = \left( 0 - p \right) ^{2} + m = m + 4$, $p ^{2} = 4$ $\displaystyle \frac{3}{2} < p \leq 3$이므로 $p = 2$ $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} + m$ 조건 (나)에 의하여 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 5$에서 최댓값을 갖는다. $f \left( 5 \right) = \left( 5 - 2 \right) ^{2} + m = 4 m$, $m = 3$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $m = 3$, $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} + 3$ 따라서 $f \left( 10 \right) = 67$