구간 조건에서 로그 곱의 최대·최소

$xy = 16$의 양변에 밑이 $2$인 로그를 취하면 $\log _{2} x + \log _{2} y = 4$ $\log _{2} x = a$라 하면 $\log _{2} y = 4 - a$ $1 \leq x \leq 8$에서 $0 \leq a \leq 3$ $1 \leq y \leq 8$에서 $0 \leq 4 - a \leq 3$, 즉 $1 \leq a \leq 4$ 두 조건을 함께 만족시키는 $a$의 범위는 $1 \leq a \leq 3$ $\log _{2} x \times \log _{2} y = a ( 4 - a ) = - ( a - 2 ) ^{2} + 4$ $1 \leq a \leq 3$에서 $a = 2$일 때 최댓값 $4$, $a = 1$ 또는 $a = 3$일 때 최솟값 $3$을 갖는다. 따라서 $M + m = 4 + 3 = 7$이므로 답은 ④이다.