구간 최솟값의 차 함수

[출제의도] 다항함수의 도함수를 활용하여 함수에 대한 문제를 해결한다. 사차함수 $f \left( x \right)$가 $x$$= \alpha$에서만 극솟값을 갖는다고 하면 함수 $g \left( t \right)$는 $g \left( t \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} f \left( t \right) - f \left( \alpha \right) & \left( t < \alpha \right) \\ \begin{aligned} \\ f \left( \alpha \right) - f \left( t \right) \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( t \geq \alpha \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 구간 $\left( - \infty , \alpha \right)$에서 함수 $f \left( t \right)$가 감소하므로 함수 $g \left( t \right)$도 감소하고, 구간 $[ \alpha , \infty )$에서 함수 $f \left( t \right)$가 증가하므로 함수 $g \left( t \right)$는 감소한다. 실수 전체의 집합에서 함수 $g \left( t \right)$가 감소하므로 조건을 만족시키는 양수 $k$가 존재하지 않는다. 그러므로 함수 $f \left( x \right)$는 극댓값을 가져야 한다. 함수 $f \left( x \right)$가 $x$$= \alpha$, $x$$= \beta$($\alpha < \beta$)에서 극솟값을 가지고, $f \left( \alpha \right)$$= a$, $f \left( \beta \right)$$= b$라 하자. (ⅰ) $f \left( \alpha \right)$$= f \left( \beta \right)$인 경우

함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $a$이므로 $g \left( t \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} f \left( t \right) - a & \left( t < \alpha \right) \\ \begin{matrix} 0 \\ a - f \left( t \right) \end{matrix} & \begin{matrix} \left( \alpha \leq t \leq \beta \right) \\ \left( t > \beta \right) \end{matrix} \end{cases}}$ 따라서 조건을 만족시키는 양수 $k$가 존재하지 않는다. (ⅱ) $f \left( \alpha \right) < f \left( \beta \right)$인 경우

$\alpha < x < \beta$일 때, $f \left( x \right)$$= f \left( \beta \right)$의 해를 $\gamma$라 하면 $g \left( t \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \begin{matrix} f \left( t \right) - a \\ a - f \left( t \right) \end{matrix} & \begin{matrix} \left( t < \alpha \right) \\ \left( \alpha \leq t < \gamma \right) \end{matrix} \\ \begin{matrix} a - b \\ a - f \left( t \right) \end{matrix} & \begin{matrix} \left( \gamma \leq t \leq \beta \right) \\ \left( t > \beta \right) \end{matrix} \end{cases}}$ $a - b < 0$이므로 조건을 만족시키는 양수 $k$가 존재하지 않는다. (ⅲ) $f \left( \alpha \right) > f \left( \beta \right)$인 경우

$\alpha < x < \beta$일 때, $f \left( x \right)$$= f \left( \alpha \right)$의 해를 $\gamma$라 하면 $g \left( t \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \begin{matrix} f \left( t \right) - b \\ a - b \end{matrix} & \begin{matrix} \left( t < \alpha \right) \\ \left( \alpha \leq t \leq \gamma \right) \end{matrix} \\ \begin{matrix} f \left( t \right) - b \\ b - f \left( t \right) \end{matrix} & \begin{matrix} \left( \gamma < t < \beta \right) \\ \left( t \geq \beta \right) \end{matrix} \end{cases}}$ $a - b$$> 0$이므로 $k$$= a - b$, $\alpha$$= 0$, $\gamma$$= 2$이면 $k$는 주어진 조건을 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $f' \left( 0 \right)$$= 0$, $f \left( 0 \right)$$= f \left( 2 \right)$이다. 또 $g \left( 4 \right)$$= 0$이므로 $\beta$$= 4$이고 $f' \left( 4 \right)$$= 0$이다. $f \left( x \right) - f \left( 0 \right)$$= x ^{2} \left( x - 2 \right) \left( x - p \right)$($p$는 상수)라 하자. $f' \left( x \right)$$= 2 x \left( x - 2 \right) \left( x - p \right) + x ^{2} \left( 2 x - p - 2 \right)$이므로 $f' \left( 4 \right)$$= 0$에서 $16 \left( 4 - p \right) + 16 \left( 6 - p \right)$$= 0$ $10 - 2 p$$= 0$, $p$$= 5$ 그러므로 $f \left( x \right)$$= x ^{2} \left( x - 2 \right) \left( x - 5 \right) + f \left( 0 \right)$ $k$$= f \left( \alpha \right) - f \left( \beta \right)$$= f \left( 0 \right) - f \left( 4 \right)$$= f \left( 0 \right) - \left\{ - 32 + f \left( 0 \right) \right\}$$= 32$ $g \left( - 1 \right)$$= f \left( - 1 \right) - f \left( 4 \right)$$= \left\{ 18 + f \left( 0 \right) \right\} - \left\{ - 32 + f \left( 0 \right) \right\}$$= 50$ 따라서 $k + g \left( - 1 \right)$$= 82$