구간 최댓값 함수의 최솟값 조건

$f _{1} \left( x \right) = - x ^{2} + 6 x$, $f _{2} \left( x \right) = a \log _{4} \left( x - 5 \right)$라 하자. $t + 1 \leq 6$일 때 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값 $g \left( t \right)$는 이차함수 $f _{1} \left( x \right) = - x ^{2} + 6 x$에서 구해진다. $f _{1} \left( x \right) = - x ^{2} + 6 x$의 최댓값은 $x = 3$에서 $9$이므로 $t + 1 < 3$일 때, $g \left( t \right) = - \left( t + 1 \right) ^{2} + 6 \left( t + 1 \right)$ $t - 1 \leq 3 \leq t + 1$일 때, $g \left( t \right) = 9$ $3 < t - 1$, $t + 1 \leq 6$일 때, $g \left( t \right) = - \left( t - 1 \right) ^{2} + 6 \left( t - 1 \right)$ 이다. $\therefore$ $\displaystyle g \left( t \right) = {\begin{cases} - t ^{2} + 4 t + 5 & \left( 0 \leq t < 2 \right) \\ 9 & \left( 2 \leq t \leq 4 \right) \\ - t ^{2} + 8 t - 7 & \left( 4 < t \leq 5 \right) \end{cases}}$ $5 < t \leq 7$일 때는 $f _{1} \left( t - 1 \right)$과 $f _{2} \left( t + 1 \right)$중에 큰 값이 $g \left( t \right)$이고, $t > 7$일 때 $a$가 양수이므로 $f _{2} \left( x \right) = a \log _{4} \left( x - 5 \right)$가 증가함수이고 $g \left( t \right) = f _{2} \left( t + 1 \right)$이다.

$0 \leq t \leq 5$에서 $g \left( t \right)$의 최솟값이 $5$이므로 $[ 0 , \infty )$에서 $g \left( t \right)$의 최솟값이 $5$이기 위해서는 $t > 5$에서 $g \left( t \right)$의 최솟값이 $5$ 이상이어야 한다. $f _{1} \left( x \right) = - x ^{2} + 6 x = 5$에서 $x = 1$ 또는 $x = 5$ $f _{2} \left( 7 \right) < f _{1} \left( 5 \right) = 5$이면 $t > 5$에서 $g \left( t \right)$의 최솟값이 $5$보다 작게 되므로 $f _{2} \left( 7 \right) \geq 5$이어야 한다. 따라서 $f _{2} \left( 7 \right) \geq 5$에서 $a \log _{4} 2 \geq 5$, $a \geq 10$ 따라서 구하는 양수 $a$의 최솟값은 $10$이다.