구간 최대최소 조건

함수 $f ( x )$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고, $x < 0$일 때, $f' ( x ) = 6 x + t$, $x > 0$일 때, $f' ( x ) = - 6 x + t$ 이므로 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle x = - \frac{t}{6}$에서 극소, $\displaystyle x = \frac{t}{6}$에서 극대이다. $f ( x ) = 0$을 만족시키는 $x$의 값은 $\displaystyle x = - \frac{t}{3}$ 또는 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \frac{t}{3}$ $f _{1} ( x ) = 3 x ^{2} + tx$, $f _{2} ( x ) = - 3 x ^{2} + tx$라 하자. (ⅰ) $\displaystyle \frac{t}{3} {\geq} 1$인 경우 (즉, $t {\geq} 3$)

조건 (가)에서 닫힌구간 $[ k - 1 , k ]$의 길이는 $k$의 값에 관계없이 항상 $1$로 일정하다. 함수 $f _{1} ( x )$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = - \frac{t}{6}$에 대하여 대칭이므로 방정식 $f _{1} ( k - 1 ) = f _{1} ( k )$를 만족시키는 $k$의 값은 $\displaystyle k = - \frac{t}{6} + \frac{1}{2}$ 함수 $f _{2} ( x )$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = \frac{t}{6}$에 대하여 대칭이므로 방정식 $f _{2} ( k - 1 ) = f _{2} ( k )$를 만족시키는 $k$의 값은 $\displaystyle k = \frac{t}{6} + \frac{1}{2}$ 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{t}{6}$에서 극대이므로 조건 (가)를 만족시키는 $k$의 값의 범위는 $\displaystyle - \frac{t}{6} + \frac{1}{2} {\leq} k {\leq} \frac{t}{6}$ $\cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 닫힌구간 $[ k , k + 1 ]$의 길이는 $k$의 값에 관계없이 항상 $1$로 일정하고 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle x = - \frac{t}{6}$에서 극소이므로 조건 (나)를 만족시키는 $k + 1$의 값의 범위는 $\displaystyle k + 1 {\leq} - \frac{t}{6}$ 또는 $\displaystyle k + 1 {\geq} \frac{t}{6} + \frac{1}{2}$ 즉, $\displaystyle k {\leq} - \frac{t}{6} - 1$ 또는 $\displaystyle k {\geq} \frac{t}{6} - \frac{1}{2}$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $t {\geq} 3$에서 조건 (가), (나)를 만족시키는 $k$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{t}{6} - \frac{1}{2} {\leq} k {\leq} \frac{t}{6}$이므로 $\displaystyle g ( t ) = \frac{t}{6} - \frac{1}{2} = \frac{t - 3}{6}$ (ⅱ) $\displaystyle \frac{t}{3} < 1$인 경우 (즉, $\displaystyle 6 - 3 \sqrt{2} {\leq} t < 3$)

$\displaystyle f _{1} \left( - \frac{t}{6} \right) = 3 \times \left( - \frac{t}{6} \right) ^{2} + t \left( - \frac{t}{6} \right) = - \frac{t ^{2}}{12}$이므로 $\displaystyle f _{2} ( x ) = - \frac{t ^{2}}{12}$을 만족시키는 양수 $x$의 값은 $x$에 대한 방정식 $\displaystyle - 3 x ^{2} + tx = - \frac{t ^{2}}{12}$의 양이 실근인 $\displaystyle x = \frac{( 1 + \sqrt{2} ) t}{6}$ $\displaystyle t {\geq} 6 - 3 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \frac{( 1 + \sqrt{2} ) t}{6} - \left( - \frac{t}{6} \right)$$\displaystyle = \frac{( 2 + \sqrt{2} ) t}{6} {\geq} \frac{( 2 + \sqrt{2} ) ( 6 - 3 \sqrt{2} )}{6} = 1$ 조건 (가)에서 닫힌구간 $[ k - 1 , k ]$의 길이는 $k$의 값에 관계없이 항상 $1$로 일정하다. $\displaystyle 6 - 3 \sqrt{2} {\leq} t < 3$에서 방정식 $f _{1} ( k - 1 ) = f _{2} ( k )$를 만족시키는 $k$의 값은 $k$에 대한 방정식 $3 ( k - 1 ) ^{2} + t ( k - 1 ) = - 3 k ^{2} + tk$의 실근인 $\displaystyle k = \frac{3 - \sqrt{6 t - 9}}{6}$ 또는 $\displaystyle k = \frac{3 + \sqrt{6 t - 9}}{6}$ 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{t}{6}$에서 극대이므로 조건 (가)를 만족시키는 $k$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{3 - \sqrt{6 t - 9}}{6} {\leq} k {\leq} \frac{t}{6}$ $\cdots$ ㉢ 조건(나)에서 닫힌구간 $[ k , k + 1 ]$의 길이는 $k$의 값에 관계없이 항상 $1$로 일정하고 함수 $f ( x )$는 $\displaystyle x = - \frac{t}{6}$에서 극소이므로 조건 (나)를 만족시키는 $k + 1$의 값의 범위는 $\displaystyle k + 1 {\leq} - \frac{t}{6}$ 또는 $\displaystyle k + 1 {\geq} \frac{3 + \sqrt{6 t - 9}}{6}$ 즉, $\displaystyle k {\leq} - \frac{t}{6} - 1$ 또는 $\displaystyle k {\geq} \frac{- 3 + \sqrt{6 t - 9}}{6}$ $\cdots$ ㉣ ㉢, ㉣에 의하여 $\displaystyle 6 - 3 \sqrt{2} {\leq} t < 3$에서 조건 (가), (나)를 만족시키는 $k$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{3 - \sqrt{6 t - 9}}{6} {\leq} k {\leq} \frac{t}{6}$이므로 $\displaystyle g ( t ) = \frac{3 - \sqrt{6 t - 9}}{6}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle g ( t ) = \begin{cases} \frac{3 - \sqrt{6 t - 9}}{6} & ( 6 - 3 \sqrt{2} {\leq} t < 3 ) \\ \frac{t - 3}{6} & ( t {\geq} 3 ) \end{cases}$ 따라서 $\displaystyle 3 \int _{2} ^{4} {\left\{ 6 g ( t ) - 3 \right\} ^{2} dt}$ $\displaystyle = 3 \int _{2} ^{3} {\left\{ 6 \times \frac{3 - \sqrt{6 t - 9}}{6} - 3 \right\} ^{2} dt}$ $\displaystyle + 3 \int _{3} ^{4} {\left\{ 6 \times \left( \frac{t - 3}{6} \right) - 3 \right\} ^{2} dt}$ $\displaystyle = 3 \int _{2} ^{3} {( 6 t - 9 )} dt + 3 \int _{3} ^{4} {( t - 6 ) ^{2}} dt$ $= 18 + 19$$= 37$