미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구간 최대최소

문제

양수 aa에 대하여 함수 f(x)=x3+ax2−a2x+2f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} - a ^{2} x + 2가 닫힌 구간 [−a,a]\left[ - a , a \right]에서 최댓값 MM, 최솟값 1427\displaystyle \frac{14}{27}를 갖는다. a+Ma + M의 값을 구하시오. [4점]

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해설

f′(x)=3x2+2ax−a2=0f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax - a ^{2} = 0↔\leftrightarrow x=−ax = - a, a3\displaystyle \frac{a}{3} 로부터 f(−a)=a3+2f ( - a ) = a ^{3} + 2, f(a3)=−527a3+2\displaystyle f \left( \frac{a}{3} \right) = - \frac{5}{27} a ^{3} + 2, f(a)=a3+2f ( a ) = a ^{3} + 2 이므로 −527a3+2=1427\displaystyle - \frac{5}{27} a ^{3} + 2 = \frac{14}{27} ∴ a=2a = 2, M=10M = 10 따라서 a+M=12a + M = 12

태그

#최댓값과 최솟값#삼차함수

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