구간 부호 바꾼 함수 연속

함수 $f ( x ) = x ^{3} - kx$($k$는 실수)에 대하여 함수 $g ( x )$의 그래프는 실수 $a$의 값에 따라 함수 $f ( x )$의 그래프 중 일부를 구간 $\left[ a , a + 1 \right]$에서만 $x$축에 대하여 대칭이동시킨 것이다. ㄱ. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f ( x ) = x ^{3} - kx$에 대하여 $f ( 0 ) = 0$이므로 (ⅰ) $a = 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} f ( x ) = f ( 0 ) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left\{ - f ( x ) \right\} = \mathit{-} f ( 0 ) = 0$ $g ( 0 ) = \mathit{-} f ( 0 ) = 0$ 따라서 함수 $g ( x )$는 $x = 0$에서 연속이다. (ⅱ) $a + 1 = 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left\{ - f ( x ) \right\} = \mathit{-} f ( 0 ) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} f ( x ) = f ( 0 ) = 0$ $g ( 0 ) = \mathit{-} f ( 0 ) = 0$ (ⅰ), (ⅱ)에서 함수 $g ( x )$는 두 실수 $k$, $a$의 값에 관계없이 $x = 0$에서 연속이다. (참) ㄴ. $k = 4$일 때 $f ( x ) = x ( x - 2 ) ( x + 2 )$이므로 함수 $g ( x )$가 $x = p$에서 불연속인 실수 $p$의 개수가 $1$이 되려면 $a$ 또는 $a + 1$의 값이 $- 2$ 또는 $0$ 또는 $2$이면 되므로, 가능한 모든 실수 $a$의 개수는 $- 2$, $0$, $2$, $- 3$, $- 1$, $1$의 $6$이다. (거짓) ㄷ. 함수 $g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면

(ⅰ) $\displaystyle a = \mathit{-} \sqrt{k}$이고 $a + 1 = 0$일 때 $\therefore$$a = \mathit{-} 1$, $k = 1$ (ⅱ) $a = 0$이고 $\displaystyle a + 1 = \sqrt{k}$일 때 $\therefore$$a = 0$, $k = 1$ (ⅲ) $\displaystyle a = \mathit{-} \sqrt{k}$이고 $\displaystyle a + 1 = \sqrt{k}$일 때 $\therefore$$\displaystyle a = \mathit{-} \frac{1}{2}$, $\displaystyle k = \frac{1}{4}$ 이상에서 가능한 모든 순서쌍 $( k , a )$의 개수는 $3$이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.