구분구적법과 넓이

[출제의도] 구분구적법의 정의를 알고, 이를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $k = 1 , 2 , \cdots , n$에 대하여 $\displaystyle \begin{aligned} A _{n} ( 1 ) + A _{n} ( 2 ) + \cdots + A _{n} ( k ) & = \int _{0} ^{\frac{k}{n}} {} f' ( x ) dx \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} & = [ f ( x ) ] _{0} ^{\frac{k}{n}} = f \left( \frac{k}{n} \right) - f ( 0 ) = f \left( \frac{k}{n} \right) - 2 & \end{aligned}$ 이므로, $\displaystyle f \left( \frac{k}{n} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{n} \right) ^{3} + 2 \left( \frac{k}{n} \right) + 2$ 이다. 따라서 곡선 $y = xf ( x )$와 $x$축, $y$축, $x = 1$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $\displaystyle \begin{aligned} S = \int _{0} ^{1} {xf ( x )} dx & = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{n} f \left( \frac{k}{n} \right) \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} & = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{n} \left\{ \frac{1}{2} \left( \frac{k}{n} \right) ^{3} + 2 \left( \frac{k}{n} \right) + 2 \right\} \end{aligned}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} \left( \frac{1}{2} x ^{4} + 2 x ^{2} + 2 x \right) dx$ $\displaystyle \begin{aligned} = \frac{53}{30} & \end{aligned}$