기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구 위 점 영역 넓이

문제

중심이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 11인 구 위에 고정된 점 A\mathrm{A}가 있고, AP‾=1\displaystyle \overline{AP} = 1을 만족시키면서 이 구 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}가 있다. 이때, 선분 AP\mathrm{A} P 위의 점 Q\mathrm{Q}가 AP⃗∙OQ⃗≥0\vec{AP} \bullet \vec{OQ} \geq 0을 만족시킬 때, 점 Q\mathrm{Q}가 존재하는 영역의 넓이는 qp3π\displaystyle \frac{q}{p} \sqrt{3} \pi이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

AP⃗∙OQ⃗≥0\vec{AP} \bullet \vec{OQ} \geq 0가 되는 조건은 AP⃗\mathrm{\vec{AP}}과 OQ⃗\mathrm{\vec{OQ}}가 이루는 각 ∠OQP\mathrm{\angle} OQP가 90∘≤∠OQP≤180∘\mathrm{90} ^{\circ} \leq \angle OQP \leq 180 ^{\circ}이다. 또한 선분AP\mathrm{AP}의 중점 M\mathrm{M}이라 하면 MP\mathrm{MP} 위에 점Q\mathrm{Q}가 존재하면 된다. 따라서 점 Q\mathrm{Q}의 자취는 MP\mathrm{MP}를 모선으로 하는 원뿔대의 곡면을 따라 움직이면 되므로 점 Q\mathrm{Q}가 존재하는 영역은 12∙1∙(2π∙32)−12∙12(2π∙34)=383π\displaystyle \frac{1}{2} \bullet 1 \bullet \left( 2 \pi \bullet \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \frac{1}{2} \bullet \frac{1}{2} \left( 2 \pi \bullet \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{3}{8} \sqrt{3} \pi (원뿔대의 겉넓이) 따라서 p+q=11p + q = 11

태그

#구#벡터의 내적#원뿔대

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