기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구 위 점 내적 최댓값

문제

좌표공간에서 구 (x−12)2+(y−5)2+(z−10)2=100( x - 12 ) ^{2} + ( y - 5 ) ^{2} + ( z - 10 ) ^{2} = 100이 xyxy평면과 접하는 점을 A\mathrm{A}라 하고, 구 위를 움직이는 점을 P\mathrm{P}라 하자. 이 때, OA⃗∙OP⃗\vec{OA} \bullet \vec{OP}의 최댓값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

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해설

구의 중심 (12,5,10)( 12 , 5 , 10 )에서 xyxy평면에 수직이면서 원점을 지나는 평면으로 자른 구의 단면과 xyxy평면과의 관계에서 OA⃗∙OP⃗\vec{OA} \bullet \vec{OP}값은 결국 ∣OA⃗∣| \mathrm{\vec{OA}} |와 점 P\mathrm{P}의 xyxy평면 위로의 수선의 발 P′\mathrm{P}'와 원점 O\mathrm{O}를 이은 선분인 ∣OP⃗′∣\mathrm{|} \vec{OP}' |의 곱과 같다. 그러므로 13⋅(13−10)≤OA⃗∙OP⃗≤13⋅(13+10)13 \cdot ( 13 - 10 ) \leq \vec{OA} \bullet \vec{OP} \leq 13 \cdot ( 13 + 10 ) ∴\therefore39≤OA⃗∙OP⃗≤29939 \leq \vec{OA} \bullet \vec{OP} \leq 299이므로 내적 OA⃗∙OP⃗\vec{OA} \bullet \vec{OP}의 최댓값은 299이다.

태그

#구#내적#정사영

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