구 위 두 원의 교점

삼각형 $\mathrm{OQB}$에서 $\displaystyle \mathrm{\angle} BQO = \frac{\pi}{2}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = 10 \sqrt{2}$이므로 원 $C _{2}$는 중심이 $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( 0 , 5 \sqrt{2} , 0 \right)}$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 5 \sqrt{2}$인 원이다. 두 점 $\mathrm{N} _{1}$, $\mathrm{N} _{2}$는 구 $S$ 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{ON}} _{1} = \overline{ON} _{2} = 10$ 삼각형 $\mathrm{ON} _{1} N _{2}$에서 $\mathrm{\angle} N _{1} O N _{2} = \theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{5}$이므로 삼각형 $\mathrm{N} _{1} O N _{2}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{N _{1} N _{2}}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{ON} _{1}} ^{2} + {\overline{ON} _{2}} ^{2} - 2 \times \overline{ON} _{1} \times \overline{ON} _{2} \times \cos \theta$ $\displaystyle = 10 ^{2} + 10 ^{2} - 2 \times 10 \times 10 \times \frac{3}{5}$$= 80$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{N _{1} N _{2}}} = 4 \sqrt{5}$이고 선분 $\mathrm{N} _{1} N _{2}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 삼각형 $\mathrm{C} N _{1} M$에서 피타고라스 정리에 의하여

$\displaystyle \mathrm{\overline{CN _{1}}} ^{2} = {\overline{CM}} ^{2} + {\overline{N _{1} M}} ^{2}$, $\displaystyle \left( 5 \sqrt{2} \right) ^{2} = \mathrm{\overline{CM}} ^{2} + \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CM}} = \sqrt{30}$ 따라서 점 $\mathrm{N} _{1}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{N} _{1} \left( \sqrt{30} , 5 \sqrt{2} , 2 \sqrt{5} \right)$ 한편 삼각형 $\mathrm{OAP}$에서 $\mathrm{\angle} OAP = \theta$라 하면 $\displaystyle \sin \theta = \frac{10}{a}$

원 $C _{1}$의 중심의 좌표를 $\mathrm{L}$이라 하면 점 $\mathrm{L}$은 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발이고 $x$축 위의 점이므로 점 $\mathrm{M}$에서 $x$축에 내린 수선의 발과 같다. $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{L} \left( \sqrt{30} , 0 , 0 \right)$ 한편 $\mathrm{\angle} OPL = \theta$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OL}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{OP} \times \sin \theta$$\displaystyle = 10 \times \frac{10}{a}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OL}} = \overline{CM} = \sqrt{30}$에서 $\displaystyle \frac{100}{a} = \sqrt{30}$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{10 \sqrt{30}}{3}$