구 위 벡터 내적

[출제의도] 공간벡터의 내적의 개념을 이해하여 문제해결하기 $\angle AOP = \theta$라 두면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{4}$, $\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$ $\left| {\vec{PO}} \right| = \left| {\vec{OQ}} \right| = 1$이고 $\displaystyle \left| {\vec{PQ}} \right| = \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \angle POQ = \frac{2}{3} \pi$ ${\vec{AP}} = {\vec{OP'}}$인 점 $P'$을 잡자.

$\angle APO = \angle POP' = \theta$ ($\because$엇각) ${\vec{AP}}$와 ${\vec{OQ}}$가 이루는 각을 $\alpha$라 하면 $\alpha$의 최솟값은 점 $Q$가 $Q _{1}$일 때 $\displaystyle \frac{2}{3} \pi - \theta$ $\alpha$의 최댓값은 점 $Q$가 $Q _{2}$일 때 $\displaystyle \frac{4}{3} \pi - \theta$ ${\vec{AP}} \bullet {\vec{AQ}} = {\vec{AP}} \bullet ( {\vec{AO}} + {\vec{OQ}} ) = {\vec{AP}} \bullet {\vec{AO}} + {\vec{AP}} \bullet {\vec{OQ}}$ $= 2 \times 2 \times \cos ( \pi - 2 \theta ) + {\vec{AP}} \bullet {\vec{OQ}}$ 이므로 $\displaystyle M = - 4 \cos 2 \theta + 2 \cos \left( \frac{2}{3} \pi - \theta \right)$ $\displaystyle m = - 4 \cos 2 \theta + 2 \cos \left( \frac{4}{3} \pi - \theta \right)$ $\displaystyle M - m = 2 \left\{ \cos \left( \frac{2}{3} \pi - \theta \right) - \cos \left( \frac{4}{3} \pi - \theta \right) \right\}$ $\displaystyle = 2 \left\{ \cos \frac{2}{3} \pi \cos \theta + \sin \frac{2}{3} \pi \sin \theta - \cos \frac{4}{3} \pi \cos \theta - \sin \frac{4}{3} \pi \sin \theta \right\}$ $\displaystyle = 2 \left\{ \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{15}}{4} \right\} = \frac{3}{2} \sqrt{5}$ $\therefore 8 ( M - m ) ^{2} = 90$