기하공간도형과 공간좌표수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

구 절단 단면 넓이

문제

구 $( x - 3 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} + ( z - 3 ) ^{2} = 27$ 과 그 내부를 포함하는 입체를 $xy$ 평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부분을 남기고 나머지 부분을 버린다. 남아있는 부분을 다시 $yz$ 평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부분을 남기고 나머지 부분을 버린다. 이때, 마지막에 남아있는 부분에서 두 평면에 의해 잘린 단면의 넓이는 $a \pi + b$ 이다. 두 자연수 $a$ , $b$ 의 합 $a + b$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

중심에서 $xy$ 까지의 거리가 3이므로 그 평면이 만드는 원의 반지름은 $\displaystyle ( 3 \sqrt{3} ) ^{2} - 3 ^{2} = r ^{2}$ $\displaystyle \therefore r = 3 \sqrt{2}$

이것은 $yz$ 평면의 경우도 마찬가지이다. 그런데 두 평면이 서로를 중심에서 3만큼 떨어지게 남겨두고 자르므로 여기서 왼쪽 부분의 넓이가 두 평면에 의해 잘린 단면의 한 부분이 된다. 이 넓이를 구해서 곱하기 2를 하면 된다.

$\displaystyle 2 \times ( 9 \pi + \frac{9}{2} \pi + 9 ) = 27 \pi + 18$

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