곱의 연속조건으로 상수 α의 곱 구하기

함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = 5$에서도 연속이다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 5} \frac{x ^{2} + ax + b}{x - 5} = 7$에서 $x \rightarrow 5$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 5} {\left( x ^{2} + ax + b \right)} = 0$에서 $25 + 5 a + b = 0$, $b = - 5 a - 25$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 5} \frac{x ^{2} + ax + b}{x - 5}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 5} \frac{x ^{2} + ax - 5 a - 25}{x - 5}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 5} \frac{\left( x - 5 \right) \left( x + 5 + a \right)}{x - 5}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 5} {\left( x + 5 + a \right)}$ $= a + 10$ 즉 $a + 10 = 7$에서 $a = - 3$, $b = - 10$이므로 $f \left( x \right) = x + 2$ 두 함수 $g \left( x \right)$, $h \left( x \right)$에서 $g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \sqrt{4 - f \left( x \right)} & & \left( x < 1 \right) \\ f \left( x \right) & & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$$\displaystyle = {\begin{cases} \sqrt{2 - x} & & \left( x < 1 \right) \\ x + 2 & & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$ 이고 $\left. h \left( x \right) \right.$$= \left| \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} + \alpha \right| - 11$ $= \left| \left( x + 2 \right) ^{2} + \alpha \right| - 11$ 이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 1$에서 불연속이고 함수 $h \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 즉 $k \left( x \right) = g \left( x \right) h \left( x \right)$라 할 때 함수 $k \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x = 1$에서 연속이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {k \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\left( \sqrt{2 - x} \right) \left( \left| \left( x + 2 \right) ^{2} + \alpha \right| - 11 \right)}$ $= {\left| \alpha + 9 \right| - 11}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {k \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {\left( x + 2 \right) \left( \left| \left( x + 2 \right) ^{2} + \alpha \right| - 11 \right)}$ $= {3 \left| \alpha + 9 \right| - 33}$ $k \left( 1 \right) = {3 \left| \alpha + 9 \right| - 33}$ 에서 ${\left| \alpha + 9 \right| - 11} = {3 \left| \alpha + 9 \right| - 33}$이므로 $\left| \alpha + 9 \right| = 11$, $\alpha = 2$ 또는 $\alpha = - 20$ 따라서 조건을 만족시키는 실수 $\alpha$의 값의 곱은 $2 \times \left( - 20 \right) = - 40$