곱의 미분가능 삼차함수

[출제의도] 도형의 평행이동과 함수의 미분가능성을 이해하여 주어진 문제를 해결한다. 함수 $g ( x )$가 $x = 0$에서 연속이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {g ( x ) = 9}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {g ( x ) = \frac{3}{2} \left| 3 k - 9 \right|}$이므로 $\displaystyle 9 = \frac{3}{2} \left| 3 k - 9 \right|$ $\left| k - 3 \right| = 2$ $k = 1$ 또는 $k = 5$ (ⅰ) $k = 1$인 경우 함수 $g ( x ) h ( x )$가 $x = 3$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {\frac{g ( x ) h ( x ) - g ( 3 ) h ( 3 )}{x - 3}}$

$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {\frac{( 3 x - 9 ) h ( x )}{x - 3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {3 h ( x )} = 3 h ( 3 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\frac{g ( x ) h ( x ) - g ( 3 ) h ( 3 )}{x - 3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\frac{( 9 - 3 x ) h ( x )}{x - 3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {\left. \left\{ - 3 h ( x ) \right. \right\} = \mathit{-} 3 h ( 3 )}$ $3 h ( 3 ) = \mathit{-} 3 h ( 3 )$이므로 $h ( 3 ) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 함수 $g ( x ) h ( x )$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{g ( x ) h ( x ) - g ( 0 ) h ( 0 )}{x - 0}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{\left( 9 - 3 x \right) h ( x ) - 9 h ( 0 )}{x}}$$= 9 h' ( 0 ) - 3 h ( 0 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{g ( x ) h ( x ) - g ( 0 ) h ( 0 )}{x - 0}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{\frac{3}{2} ( 6 - 3 x ) h ( x ) - 9 h ( 0 )}{x}}$ $\displaystyle = 9 h' ( 0 ) - \frac{9}{2} h ( 0 )$ $\displaystyle 9 h' ( 0 ) - 3 h ( 0 ) = 9 h' ( 0 ) - \frac{9}{2} h ( 0 )$, $h ( 0 ) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $h ( x ) = x ( x - 3 ) ( x + \alpha )$ (단, $\alpha$는 상수)이고, 조건 (나)에 의해 $h' ( 3 ) = 27 + 6 \left( \alpha - 3 \right) - 3 \alpha = 15$, $3 \alpha = 6$, $\alpha = \mathit{2}$ $h ( x ) = x ( x - 3 ) ( x + 2 ) = x ^{3} - x ^{2} - 6 x$ 그러므로 $k = 1$일 때 $h ( 1 ) = \mathit{-} 6$

(ⅱ) $k = 5$인 경우 (ⅰ)과 같은 방법으로 $h ( 3 ) = h ( 0 ) = h \left( - 2 \right) = 0$이고 $h ( x ) = x ^{3} - x ^{2} - 6 x$ 그러므로 $k = 5$일 때 $h ( 5 ) = 70$ (ⅲ) $k \ne 1$, $k \ne 5$인 경우 함수 $g ( x )$는 $x = 0$에서 연속이 아니고 함수 $g ( x ) h ( x )$가 $x = 0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {g ( x ) h ( x )} = g ( 0 ) h ( 0 )$ $\displaystyle \frac{3}{2} \left| 3 k - 9 \right| \times h ( 0 ) = 9 h ( 0 )$ $h ( 0 ) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 함수 $g ( x ) h ( x )$가 $x = 0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{g ( x ) h ( x ) - g ( 0 ) h ( 0 )}{x - 0}} = \frac{3}{2} \left| 3 k - 9 \right| \times h' ( 0 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{g ( x ) h ( x ) - g ( 0 ) h ( 0 )}{x - 0}} = 9 h' ( 0 )$ $\displaystyle \frac{3}{2} \left| 3 k - 9 \right| \times h' ( 0 ) = 9 h' ( 0 )$이므로 $h' ( 0 ) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ 함수 $g ( x ) h ( x )$가 $x = 3$에서 미분가능하므로 ㉠과 같은 방법으로 $h ( 3 ) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉤ ㉢, ㉣, ㉤에 의하여 $h ( x )$는 $x ^{2}$과 $x - 3$을 인수로 가지므로 $h ( x ) = x ^{2} ( x - 3 )$, $h' ( 3 ) = 9$ 조건 (나)를 만족시키지 않으므로 $h ( x )$는 존재하지 않는다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 모든 $h ( k )$의 값의 합은 $( - 6 ) + 70 = 64$