곱의 미분을 거꾸로 이용한 함숫값

주어진 등식의 양변에 $x$를 곱하면 $2 x f ( x ) + x ^{2} f' ( x ) = x ^{2} e ^{x}$ 좌변은 $\left\{ x ^{2} f ( x ) \right\}'$이므로 $\displaystyle x ^{2} f ( x ) = \int x ^{2} e ^{x} dx = x ^{2} e ^{x} - \int 2 x e ^{x} dx$ $\displaystyle = x ^{2} e ^{x} - 2 \left( x e ^{x} - \int e ^{x} dx \right) = e ^{x} ( x ^{2} - 2 x + 2 ) + C$ ($C$는 적분상수) $x = 1$을 대입하면 $f ( 1 ) = e + C = e$이므로 $C = 0$ $x ^{2} f ( x ) = e ^{x} ( x ^{2} - 2 x + 2 )$에 $x = 2$를 대입하면 $4 f ( 2 ) = e ^{2} ( 4 - 4 + 2 ) = 2 e ^{2}$ 따라서 $\displaystyle f ( 2 ) = \frac{e ^{2}}{2}$ 답 ③