대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곱의 합으로 b5 구하기

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 22, 공비가 33인 등비수열이다. (나) 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nakbk=4n⋅3n\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} b _{k} = 4 n \cdot 3 ^{n}이다.

b5b _{5}의 값을 구하시오. [4점]

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22

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해설

[출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. an=2⋅3n−1a _{n} = 2 \cdot 3 ^{n - 1} (n=1n = 1, 2,2 , 33, ⋯\cdots)이다. Sn=∑k=1nakbk=4n⋅3n\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} b _{k} = 4 n \cdot 3 ^{n}이라 하면 anbn=Sn−Sn−1a _{n} b _{n} = S _{n} - S _{n - 1} (n≥2)( n \geq 2 ) =4n⋅3n−4(n−1)3n−1= 4 n \cdot 3 ^{n} - 4 ( n - 1 ) 3 ^{n - 1} =4⋅3n−1(2n+1)= 4 \cdot 3 ^{n - 1} ( 2 n + 1 ) bn=2(2n+1)b _{n} = 2 ( 2 n + 1 )(n≥2)( n \geq 2 )=4n+2= 4 n + 2 ∴ b5=22b _{5} = 22

태그

#수열의 합#일반항

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