대수삼각함수의 활용AI기본 문제 (3점 중반)

곱의 관계식으로 각 A 구하기

문제

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 (a+b+c)(b+c−a)=3bc( a + b + c ) ( b + c - a ) = 3 bc가 성립할 때, ∠A\angle \mathrm{A}의 크기는? [3점] ①π6\displaystyle \frac{\pi}{6}②π4\displaystyle \frac{\pi}{4}③π3\displaystyle \frac{\pi}{3}④π2\displaystyle \frac{\pi}{2}⑤2π3\displaystyle \frac{2 \pi}{3}

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③

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해설

(a+b+c)(b+c−a)=(b+c)2−a2( a + b + c ) ( b + c - a ) = ( b + c ) ^{2} - a ^{2}이므로 b2+2bc+c2−a2=3bcb ^{2} + 2 bc + c ^{2} - a ^{2} = 3 bc b2+c2−a2=bcb ^{2} + c ^{2} - a ^{2} = bc 코사인법칙에서 cos⁡A=b2+c2−a22bc=bc2bc=12\displaystyle \cos \mathrm{A} = \frac{\mathit{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}}{2 bc} = \frac{bc}{2 bc} = \frac{1}{2} 0<∠A<π0 < \angle \mathrm{A} < \mathit{\pi}이므로 ∠A=π3\displaystyle \angle \mathrm{A} = \frac{\mathit{\pi}}{3} 따라서 답은 ③이다.

태그

#코사인법칙#삼각형의 모양#각의 크기

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