미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

곱함수의 연속

문제

함수 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{2} + 1 _{{} _{{} _{}}} & \left( \left| x \right| \leq 2 \right) _{{} _{{} _{}}} \\ - 2 x + 3 ^{{} ^{{} ^{}}} & \left( \left| x \right| > 2 \right) ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}}$ 에 대하여 함수 $f \left( - x \right) \left\{ f \left( x \right) + k \right\}$ 가 $x = 2$ 에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$ 의 값을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 함수의 연속 이해하기 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 - 0} {} f \left( x \right) = 5$ , $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} {} f \left( x \right) = - 1$ $- x = t$ 라 하면 $x \rightarrow 2 - 0$ 일 때, $t \rightarrow - 2 + 0$ $x \rightarrow 2 + 0$ 일 때, $t \rightarrow - 2 - 0$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 - 0} {} f \left( - x \right) = \lim\limits _{t \rightarrow - 2 + 0} {} f \left( t \right) = 5$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} {} f \left( - x \right) = \lim\limits _{t \rightarrow - 2 - 0} {} f \left( t \right) = 7$ 함수 $f \left( - x \right) \left\{ f \left( x \right) + k \right\}$ 가 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 - 0} {} f \left( - x \right) \left\{ f \left( x \right) + k \right\} = 5 \left( 5 + k \right)$ , $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} {f \left( - x \right) \left\{ f \left( x \right) + k \right\}} = 7 \left( - 1 + k \right)$ , $f ( - 2 ) \left\{ f ( 2 ) + k \right\} = 5 \left( 5 + k \right)$ 이므로 $x = 2$ 에서 연속이 되기 위해서는 $5 ( 5 + k ) = 7 \left( - 1 + k \right)$ 따라서 $k = 16$

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