곱함수의 연속

[출제의도] 연속함수의 성질을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f \left( x \right)}{x ^{2} - 3 x - 5}$$= 2$이므로 $f \left( x \right)$$= 2 x ^{2} + ax + b$ 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x$$= 3$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} f \left( x \right) g \left( x \right)$$= f \left( 3 \right) g \left( 3 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{2 x ^{2} + ax + b}{x - 3}$$= 18 + 3 a + b$에서 (분모)$\rightarrow$$0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow$$0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \left( 2 x ^{2} + ax + b \right)$$= 0$이므로 $18 + 3 a + b$$= 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{2 x ^{2} + ax + b}{x - 3}$$= 0$ $b$$= - 3 a - 18$이므로 $f \left( x \right)$$= \left( x - 3 \right) \left( 2 x + a + 6 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{2 x ^{2} + ax + b}{x - 3}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{\left( x - 3 \right) \left( 2 x + a + 6 \right)}{x - 3}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \left( 2 x + a + 6 \right)$$= 0$ 이므로 $a = \mathit{-} 12$, $b = 18$ $f \left( x \right)$$= 2 x ^{2} - 12 x + 18$ 따라서 $f \left( 1 \right)$$= 8$