곱함수의 연속

[출제의도] 연속함수의 성질 이해하기 $\displaystyle f ( x - b ) + 2 = {\begin{cases} x - b + 4 & ( x \leq b ) \\ x - b - a + 2 & ( x > b ) \end{cases}}$ $g ( x ) = f ( x ) \left\{ f ( x - b ) + 2 \right\}$라 하면 함수 $g ( x )$가 모든 실수 $x$에서 연속이려면 $x = 0 , x = b$에서 연속이면 된다. ⅰ) $x = 0$에서 연속이어야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f ( x ) \left\{ f ( x - b ) + 2 \right\} = 2 \times ( - b + 4 )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f ( x ) \left\{ f ( x - b ) + 2 \right\} = ( - a ) \times ( - b + 4 )$ $g ( 0 ) = f ( 0 ) \left\{ f ( - b ) + 2 \right\} = 2 \times ( - b + 4 )$ 에서 $2 \times ( - b + 4 ) = ( - a ) \times ( - b + 4 )$ $( a + 2 ) ( - b + 4 ) = 0 , b = 4 ( \because a > 0 )$ ⅱ) $x = b$에서 연속이어야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} f ( x ) \left\{ f ( x - b ) + 2 \right\} = ( b - a ) \times 4$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b +} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow b +} {} f ( x ) \left\{ f ( x - b ) + 2 \right\} = ( b - a ) \times ( - a + 2 )$ $g ( b ) = f ( b ) \left\{ f ( 0 ) + 2 \right\} = ( b - a ) \times 4$에서 $( b - a ) \times 4 = ( b - a ) \times ( - a + 2 )$ $( b - a ) ( a + 2 ) = 0 , b = a ( \because a > 0 )$ ⅰ), ⅱ)에 의하여 $a = b = 4$ $\therefore a + b = 8$