곱함수의 연속

함수 $f \left( x \right)$는 $x = a$와 $x = b$에서만 불연속이고, 함수 $f \left( x + k \right)$는 $x = a - k$와 $x = b - k$에서만 불연속이므로 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$가 $x = a$, $x = b$, $x = a - k$, $x = b - k$에서 연속이면 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. $a - k < a$, $b - k < b$이므로 두 수 $a$와 $b - k$에 대하여 다음과 같은 경우가 존재한다. (ⅰ) $a \ne b - k \left( k \ne b - a \right)$인 경우 ① $x = a - k$에서 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$의 연속성 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \left( a - k \right) +} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \left( a - k \right) +} {} f \left( x \right) \times \lim\limits _{x \rightarrow \left( a - k \right) +} {} f \left( x + k \right)$ $= f \left( a - k \right) \times \left( a - 10 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \left( a - k \right) -} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \left( a - k \right) -} {} f \left( x \right) \times \lim\limits _{x \rightarrow \left( a - k \right) -} {} f \left( x + k \right)$ $= f \left( a - k \right) \times \left( a + 2 \right)$ $f \left( a - k \right) f \left( a - k + k \right) = f \left( a - k \right) \times \left( a - 10 \right)$ 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$가 $x = a - k$에서 연속이므로 $f \left( a - k \right) \times \left( a - 10 \right) = f \left( a - k \right) \times \left( a + 2 \right)$ $f \left( a - k \right) = 0$ ② $x = a$에서 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$의 연속성 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right) = \left( a - 10 \right) f \left( a + k \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right) = \left( a + 2 \right) f \left( a + k \right)$ $f \left( a \right) f \left( a + k \right) = \left( a - 10 \right) f \left( a + k \right)$ 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$가 $x = a$에서 연속이므로 $\left( a - 10 \right) f \left( a + k \right) = \left( a + 2 \right) f \left( a + k \right)$ $f \left( a + k \right) = 0$ ③ $x = b - k$에서 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$의 연속성 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \left( b - k \right) +} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right)$$= f \left( b - k \right) \times \left( - b + 8 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \left( b - k \right) -} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right) = f \left( b - k \right) \times \left( b - 10 \right)$ $f \left( b - k \right) f \left( b - k + k \right) = f \left( b - k \right) \times \left( - b + 8 \right)$ 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$가 $x = b - k$에서 연속이므로 $f \left( b - k \right) \times \left( - b + 8 \right) = f \left( b - k \right) \times \left( b - 10 \right)$ $f \left( b - k \right) = 0$ ④ $x = b$에서 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$의 연속성 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b +} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right) = \left( - b + 8 \right) f \left( b + k \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow b -} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right) = \left( b - 10 \right) f \left( b + k \right)$ $f \left( b \right) f \left( b + k \right) = \left( - b + 8 \right) f \left( b + k \right)$ 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$가 $x = b$에서 연속이므로 $\left( - b + 8 \right) f \left( b + k \right) = \left( b - 10 \right) f \left( b + k \right)$ $f \left( b + k \right) = 0$ ①$\sim$ ④에 의하여 $f \left( a - k \right) = f \left( a + k \right) = f \left( b - k \right) = f \left( b + k \right) = 0$ $\displaystyle a + k = b - k \left( k = \frac{b - a}{2} \right)$이면 $\displaystyle a + k = b - k = \frac{a + b}{2}$ $\displaystyle a < \frac{a + b}{2} < b < 8$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{a + b}{2} \right) = \left( \frac{a + b}{2} \right) - 10 < 0$ $\displaystyle f \left( \frac{a + b}{2} \right) = f \left( a + k \right) = f \left( b - k \right) = 0$을 만족시키지 않는다. $a + k \ne b - k$이므로 네 수 $a - k$, $a + k$, $b - k$, $b + k$는 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 서로 다른 네 실근이다. 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 모든 실근은 $- 4$, $- 2$, $8$, $10$이므로= $\left\{ a - k , a + k , b - k , b + k \right\}$$= \left\{ - 4 , - 2 , 8 , 10 \right\}$ $0 < a + k < b + k$이므로 $a + k = 8$, $b + k = 10$ $a - k < b - k$이므로 $a - k = - 4$, $b - k = - 2$ 두 식 $a - k = - 4$, $a + k = 8$을 연립하면 $a = 2$, $k = 6$ $b + k = b + 6 = 10$, $b = 4$ $a < b < k$이므로 $f \left( k \right) > 0$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a = b - k \left( k = b - a \right)$인 경우 ① $x = a - k$에서 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$의 연속성 (ⅰ)의 ①에 의하여 $f \left( a - k \right) = 0$ $a - k = 2 a - b$이므로 $f \left( 2 a - b \right) = 0$ ② $x = b$에서 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$의 연속성 (ⅰ)의 ④에 의하여 $f \left( b + k \right) = 0$ $b + k = 2 b - a$이므로 $f \left( 2 b - a \right) = 0$ ③ $x = a \left( = b - k \right)$에서 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$의 연속성 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a +} {} f \left( x \right) f \left( x + b - a \right)$$= \left( a - 10 \right) \left( - b + 8 \right)$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {} f \left( x \right) f \left( x + k \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a -} {} f \left( x \right) f \left( x + b - a \right)$$= \left( a + 2 \right) \left( b - 10 \right)$ $f \left( a \right) f \left( a + k \right) = f \left( a \right) f \left( b \right) = \left( a - 10 \right) \left( - b + 8 \right)$ 함수 $f \left( x \right) f \left( x + k \right)$가 $x = a = b - k$에서 연속이므로 $\left( a - 10 \right) \left( - b + 8 \right) = \left( a + 2 \right) \left( b - 10 \right)$ $a \left( b - 9 \right) - 4 b + 30 = 0$ $\displaystyle a = 4 + \frac{6}{b - 9}$ $a < b < 8$이므로 이를 만족시키는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 1 , 7 \right)$, $\left( 2 , 6 \right)$이다. $a = 1$, $b = 7$이면 $f \left( 2 a - b \right) = f \left( - 5 \right) = 1$이므로 $f \left( 2 a - b \right) = 0$을 만족시키지 않는다. $a = 2$, $b = 6$이면 $f \left( 2 a - b \right) = f \left( - 2 \right) = 0$, $f \left( 2 b - a \right) = f \left( 10 \right) = 0$을 만족시킨다. $k = 6 - 2 = 4$ $a < k < b$이므로 $f \left( k \right) = f \left( 4 \right) = 4 - 10 = - 6$ $f \left( k \right) < 0$이므로 조건 (나)를 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a = 2$, $b = 6$, $k = 4$이고 함수 $f \left( x \right)$는 다음과 같다. $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \left| x + 3 \right| - 1 & & \left( x < 2 \right) \\ x - 10 & & \left( 2 \leq x < 6 \right) \\ \left| x - 9 \right| - 1 & & \left( x \geq 6 \right) \end{cases}}$ 따라서 $f \left( a \right) \times f \left( b \right) \times f \left( k \right)$$= f \left( 2 \right) \times f \left( 6 \right) \times f \left( 4 \right)$ $= \left( - 8 \right) \times 2 \times \left( - 6 \right) = 96$ [참고] 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프