곱함수의 연속

함수 $f ( x ) g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 $x = 1$과 $x = 3$에서 연속이어야 한다. ⅰ) 함수 $f ( x ) g ( x )$가 $x = 1$에서 연속일 때 $f ( 1 ) g ( 1 )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f ( x ) g ( x )}$ $= ( a ^{2} - 3 a + 2 ) ( 7 - b )$ $= ( a - 1 ) ( a - 2 ) ( 7 - b )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f ( x ) g ( x )}$$= ( a ^{2} - 3 a + 2 ) ( 1 + b )$ $= ( a - 1 ) ( a - 2 ) ( 1 + b )$ $\displaystyle f ( 1 ) g ( 1 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f ( x ) g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f ( x ) g ( x )}}$ 이므로 $( a - 1 ) ( a - 2 ) ( 7 - b ) = ( a - 1 ) ( a - 2 ) ( a + b )$에서 $a = 1$ 또는 $a = 2$ 또는 $b = 3$ ⅱ) 함수 $f ( x ) g ( x )$가 $x = 3$에서 연속일 때 $f ( 3 ) g ( 3 )$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {f ( x ) g ( x )}$ $= ( a ^{2} - 7 a + 10 ) ( 7 - b )$ $= ( a - 2 ) ( a - 5 ) ( 7 - b )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {f ( x ) g ( x )}$$= ( a ^{2} - 7 a + 10 ) ( 3 + b )$ $= ( a - 2 ) ( a - 5 ) ( 3 + b )$ $\displaystyle f ( 3 ) g ( 3 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {f ( x ) g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {f ( x ) g ( x )}}$ 이므로 $( a - 2 ) ( a - 5 ) ( 7 - b ) = ( a - 2 ) ( a - 5 ) ( 3 + b )$에서 $a = 2$ 또는 $a = 5$ 또는 $b = 2$ ⅰ), ⅱ)에서 $a = 1$인 경우 함수 $f ( x ) g ( x )$는 $x = 1$에서 연속이고 $x = 3$에서도 연속이기 위해서는 $b = 2$ $a = 2$인 경우 함수 $f ( x ) g ( x )$는 $x = 1$과 $x = 3$에서 모두 연속이므로 $b = 1 , 2 , 3 , 4 , 5$ $a = 3$ 또는 $a = 4$인 경우 함수 $f ( x ) g ( x )$가 $x = 1$과 $x = 3$에서 모두 연속이 되도록 하는 $b$의 값은 존재하지 않는다. $a = 5$인 경우 함수 $f ( x ) g ( x )$는 $x = 3$에서 연속이고, $x = 1$에서도 연속이기 위해서는 $b = 3$ 따라서 함수 $f ( x ) g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 순서쌍 $( a , b )$는 $( 1 , 2 )$, $( 2 , 1 )$, $( 2 , 2 )$, $( 2 , 3 )$, $( 2 , 4 )$, $( 2 , 5 )$, $( 5 , 3 )$이고 그 개수는 $7$이다.