곱함수의 연속

[출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle f ( x - 1 ) = {\begin{cases} - x & ( x \leq 1 ) \\ 2 x - 2 + a & ( x > 1 ) \end{cases}}$ $g ( x ) = f ( x ) f ( x - 1 )$ $\displaystyle = {\begin{cases} ( - x - 1 ) ( - x ) & ( x \leq 0 ) \\ ( 2 x + a ) ( - x ) & ( 0 < x \leq 1 ) \\ ( 2 x + a ) ( 2 x - 2 + a ) & ( x > 1 ) \end{cases}}$ 함수 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위하여 $x = 0$, $x = 1$에서도 연속이 되어야 한다. (ⅰ) $x = 0$일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {g ( x )} = g ( 0 ) = \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {g ( x )}$이므로 함수 $g ( x )$는 $a$의 값에 관계없이 $x = 0$에서 연속이다. (ⅱ) $x = 1$일 때 함수 $g ( x )$가 $x = 1$에서 연속이 되려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {g ( x )} = g ( 1 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {g ( x )}$ $- ( a + 2 ) = ( a + 2 ) a$, $( a + 1 ) ( a + 2 ) = 0$ $a \ne - 1$이므로 $a = - 2$