곱함수의 연속

[출제의도] 두 함수의 곱이 연속함수가 될 조건을 구할 수 있는가? (ⅰ) 함수 $f \left( x \right)$가 $x = a$에서 연속일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a + 0} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow a + 0} {} \left( x + 3 \right) = a + 3$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a - 0} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow a - 0} {} \left( x ^{2} - x \right) = a ^{2} - a$ 이므로 $a ^{2} - a = a + 3$, $a ^{2} - 2 a - 3 = 0$ $\left( a - 3 \right) \left( a + 1 \right) = 0$ $\therefore a = \mathit{-} 1$ 또는 $a = 3$ (ⅱ) 함수 $f \left( x \right)$가 $x = a$에서 불연속일 때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow a} {} \left\{ x - \left( 2 a + 7 \right) \right\}$$= a - \left( 2 a + 7 \right)$$= \mathit{-} a - 7 = 0$ $\therefore a = \mathit{-} 7$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 실수 $a$의 값의 곱은 $- 1 \times 3 \times \left( - 7 \right) = 21$