곱함수 연속성 보기

ㄱ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right) g \left( x - 3 \right) = - f \left( 0 \right) \times f \left( - 3 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right) g \left( x - 3 \right) = f \left( 0 \right) \times \left\{ - f \left( - 3 \right) \right\}$ $g \left( 0 \right) g \left( - 3 \right) = f \left( 0 \right) \times \left\{ - f \left( - 3 \right) \right\}$ 함수 $g ( x ) g ( x - 3 )$은 $x = 0$에서 연속이다. (참) ㄴ. 함수 $g ( x ) g ( x - 3 )$이 $x = k$에서 불연속인 실수 $k$의 값이 한 개이므로 $k = - 3$ 또는 $k = 3$ (ⅰ) 함수 $g ( x ) g ( x - 3 )$이 $x = - 3$에서 연속이고, $x = 3$에서 불연속인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3 -} {} g \left( x \right) g \left( x - 3 \right) = f \left( - 3 \right) \times f \left( - 6 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3 +} {} g \left( x \right) g \left( x - 3 \right) = - f \left( - 3 \right) \times f \left( - 6 \right)$ $g \left( - 3 \right) g \left( - 6 \right) = - f \left( - 3 \right) \times f \left( - 6 \right)$이므로 $f \left( - 3 \right) \times f \left( - 6 \right) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {} g \left( x \right) g \left( x - 3 \right) = f \left( 3 \right) \times \left\{ - f \left( 0 \right) \right\}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {} g \left( x \right) g \left( x - 3 \right) = f \left( 3 \right) \times f \left( 0 \right)$ $g \left( 3 \right) g \left( 0 \right) = f \left( 3 \right) \times f \left( 0 \right)$이므로 $f \left( 3 \right) \times f \left( 0 \right) \ne 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $f \left( - 3 \right) = f \left( 0 \right)$이므로 ㉠, ㉡에 의하여 $f ( - 6 ) = 0$ (ⅱ) 함수 $g ( x ) g ( x - 3 )$이 $x = 3$에서 연속이고, $x = - 3$에서 불연속인 경우 (ⅰ)과 같은 방법에 의하여 $f ( 3 ) = 0$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f ( - 6 ) = 0$ 또는 $f ( 3 ) = 0$이므로 $f ( - 6 ) \times f ( 3 ) = 0$ (참) ㄷ. $k = - 3$이므로 $f ( 3 ) = 0$ $f \left( x \right) = \left( x - 3 \right) \left( x ^{2} + ax + b \right)$라 하자. (단, $a$, $b$는 상수) $f ( - 3 ) = f ( 0 )$이므로 $- 6 \left( 9 - 3 a + b \right) = - 3 b$, $b = 6 a - 18$ $f \left( x \right) = \left( x - 3 \right) \left( x ^{2} + ax + 6 a - 18 \right)$ (ⅰ) 방정식 $x ^{2} + a x + 6 a - 18 = 0$이 $\mathrm{3}$이 아닌 서로 다른 두 실근을 갖는 경우 방정식 $f ( x ) = 0$의 세 실근의 합은 $3 + \left( - a \right) = - 1$, $a = 4$ 방정식 $x ^{2} + 4 x + 6 = 0$은 실근을 갖지 않으므로 모순 (ⅱ) 방정식 $x ^{2} + a x + 6 a - 18 = 0$이 중근을 갖는 경우 방정식 $f ( x ) = 0$의 서로 다른 두 실근의 합은 $\displaystyle 3 + \left( - \frac{a}{2} \right) = - 1$, $a = 8$ 방정식 $x ^{2} + 8 x + 30 = 0$은 중근을 갖지 않으므로 모순 (ⅲ) 방정식 $x ^{2} + a x + 6 a - 18 = 0$이 $\mathrm{3}$과 $\mathrm{-} 4$를 실근으로 갖는 경우 $3 + \left( - 4 \right) = - a$, $3 \times \left( - 4 \right) = 6 a - 18$에서 $a = 1$ $f \left( x \right) = \left( x - 3 \right) \left( x ^{2} + x - 12 \right) = \left( x - 3 \right) ^{2} \left( x + 4 \right)$ 그러므로 $g \left( - 1 \right) = - f \left( - 1 \right) = - 48$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ