곱함수 연속 미분 보기

[출제의도] 함수의 미분가능성 추론하기 ㄱ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f \left( x \right) f \left( - x \right) = 0} \times \left( - 1 \right) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f \left( x \right) f \left( - x \right) = 0} \times \left( - 1 \right) = 0$ $\therefore$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {f \left( x \right) f \left( - x \right) = 0}$ (참) ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {f \left( x \right) f \left( - x \right) = 0}$이고 $f \left( - 1 \right) f \left( 1 \right) = 0$ 이므로 $x = - 1$에서 연속이다. (참) ㄷ. $\displaystyle \left. f ( x \right) = {\begin{cases} x & \left( - 1 < x \leq 0 \right) \\ - x + 1 & ( 0 < x < 1 ) \end{cases}}$ $\displaystyle f \left( - x \right) = {\begin{cases} x + 1 & \left( - 1 < x < 0 \right) \\ - x & ( 0 \leq x < 1 ) \end{cases}}$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) f \left( - x \right) = {\begin{cases} x ^{2} + x & \left( - 1 < x < 0 \right) \\ 0 & \left( x = 0 \right) \\ x ^{2} - x & ( 0 < x < 1 ) \end{cases}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{f \left( x \right) f \left( - x \right) - f \left( 0 \right) f \left( 0 \right)}{x}} = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{f \left( x \right) f \left( - x \right) - f \left( 0 \right) f \left( 0 \right)}{x}} = - 1$이므로 $x = 0$에서 미분가능하지 않다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ