곱함수 연속 조건

[출제의도] 함수의 연속성 추론하기 $g \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$라 하자. 조건 (가)에서 $f \left( x \right) g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = 1$, $x = - 1$에서 연속이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f \left( x \right) g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f \left( x \right) g \left( x \right) = f \left( 1 \right) g \left( 1 \right)}}$ $a + b + c = - 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} {f \left( x \right) g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} {f \left( x \right) g \left( x \right) = f \left( - 1 \right) g \left( - 1 \right)}}$ $a - b + c = 1$ $\therefore b = - 1$, $c = - a$ $g \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} - x - a = \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right) \left( x + a \right)$ 조건 (나)에서 $f \left( x \right) g \left( x + k \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$가 존재하므로 $x = 1$, $x = - 1$에서 연속이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f \left( x \right) g \left( x + k \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f \left( x \right) g \left( x + k \right) = f \left( 1 \right) g \left( 1 + k \right)}}$ $k \left( k + 2 \right) \left( k + a + 1 \right) = 0$ $k = - 2$ 또는 $k = - a - 1$ $\left( k \ne 0 \right)$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} {f \left( x \right) g \left( x + k \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} {f \left( x \right) g \left( x + k \right)}$$= f \left( - 1 \right) g \left( - 1 + k \right)$ $k \left( k - 2 \right) \left( k + a - 1 \right) = 0$ $k = 2$ 또는 $k = - a + 1$ $\left( k \ne 0 \right)$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에 의해 $k = - 2$일 때, $a = 3$ $k = 2$일 때, $a = - 3$ $g \left( 0 \right) = - a < 0$이므로 $a = 3$ 따라서 $g \left( x \right) = x ^{3} + 3 x ^{2} - x - 3$이고 $g \left( 2 \right) = 15$