곱함수 연속 조건

[출제의도] 연속함수의 성질 이해하기 (i) $k = 1$인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {f ( x ) f ( x ) = ( - 2 ) \times ( - 2 ) = 4}$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2+} {f ( x ) f ( x ) = ( - 6 ) \times ( - 6 ) = 36}$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2{f ( x ) f ( x )}}$가 존재하지 않으므로 함수 $f ( x ) f ( x )$는 $x = 2$에서 불연속이다. (ii) $k = - 1$인 경우 위의 (i)과 같은 방법에 의하여 함수 $f ( x ) f ( - x )$는 $x = 2$에서 불연속이다. (iii) $k \ne - 1 , k \ne 1$인 경우 함수 $f ( kx )$는 $x = 2$에서 연속이다. 함수 $f ( x ) f ( kx )$가 $x = 2$에서 연속이 되려면 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2-} {f ( x ) f ( kx ) = \lim\limits _{x\rightarrow 2+{f ( x ) f ( kx ) = f ( 2 ) f ( 2 k )}}}$ $- 2 f ( 2 k ) = - 6 f ( 2 k ) = - 2 f ( 2 k )$ 따라서 $f ( 2 k ) = 0$ $\displaystyle x = - 4 , - \sqrt{2} , \sqrt{2} , 4$에서 $f ( x ) = 0$이므로 $2 k$는 $\displaystyle - 4 , - \sqrt{2} , \sqrt{2} , 4$이다. 그러므로 $\displaystyle k = - 2 , - \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{\sqrt{2}}{2} , 2$ (i), (ii), (iii)에 의하여 모든 상수 $k$의 값의 곱은 $2$