곱함수 연속

[출제의도] 함수의 극한과 연속 추론하기 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x = 1$, $x = 3$에서 연속이어야 한다. (i) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f \left( x \right) g \left( x \right)} = 1 \times g \left( 1 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f \left( x \right) g \left( x \right) = 2 \times g \left( 1 \right)}$ $f \left( 1 \right) g \left( 1 \right) = 2 \times g \left( 1 \right)$이므로 $g \left( 1 \right) = 0$ (ii) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 + 0} {f \left( x \right) g \left( x \right)} = 2 \times g \left( 3 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 - 0} {f \left( x \right) g \left( x \right) = 1 \times g \left( 3 \right)}$ $f \left( 3 \right) g \left( 3 \right) = 2 \times g \left( 3 \right)$이므로 $g \left( 3 \right) = 0$ $\therefore$$g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) = x ^{2} - 4 x + 3$ 따라서 $g \left( 2 \right) = - 1$