곱함수 미분가능

[출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 문제해결하기 함수 $h ( x ) = f ( x ) g ( x )$라 하자. $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \frac{1}{3} x & ( x < 3 ) \\ x ^{2} - 6 x + 10 & ( x \geq 3 ) \end{cases}}$ $g ( x ) = f ( x - m ) + n$ $\displaystyle = {\begin{cases} \frac{1}{3} ( x - m ) + n & ( x < 3 + m ) \\ ( x - m - 3 ) ^{2} + 1 + n & ( x \geq 3 + m ) \end{cases}}$ 이므로 함수 $f ( x )$는 $x = 3$에서 미분가능하지 않고, 함수 $g ( x )$는 $x = 3 + m$에서 미분가능하지 않으므로 함수 $h ( x )$는 $x = 3$과 $x = 3 + m$ 에서 미분가능하면 모든 실수에 대하여 미분가능하다 $\displaystyle f' ( x ) = {\begin{cases} \frac{1}{3} & ( x < 3 ) \\ 2 ( x - 3 ) & ( x > 3 ) \end{cases}}$ $\displaystyle g' ( x ) = {\begin{cases} \frac{1}{3} & ( x < 3 + m ) \\ 2 ( x - m - 3 ) & ( x > 3 + m ) \end{cases}}$ ⅰ) $x = 3$에서 함수 $h ( x )$의 미분가능성 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {} \left\{ f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} ( m ^{2} + 1 + n ) + ( - 2 m )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {} \left\{ f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ) \right\}$ $= 0 \times g ( 3 ) + 1 \times ( - 2 m ) = - 2 m$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {} h' ( x )$이어야 하므로 $\displaystyle \frac{1}{3} ( m ^{2} + 1 + n ) + ( - 2 m ) = - 2 m$ $m ^{2} + 1 + n = 0 \cdots$① ⅱ) $x = 3 + m$에서 함수 $h ( x )$의 미분가능성 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow ( 3 + m ) -} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow ( 3 + m ) -} {} \left\{ f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} g ( 3 + m ) + f ( 3 + m ) \times \frac{1}{3}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} ( 1 + n ) + \frac{1}{3} ( 3 + m ) \times \frac{1}{3}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow ( 3 + m ) +} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow ( 3 + m ) +} {} \left\{ f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} g ( 3 + m ) + f ( 3 + m ) \times 0 = \frac{1}{3} ( 1 + n )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow ( 3 + m ) -} {} h' ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow ( 3 + m ) +} {} h' ( x )$이어야 하므로 $\displaystyle \frac{1}{3} ( 1 + n ) + \frac{1}{9} ( 3 + m ) = \frac{1}{3} ( 1 + n )$ $m = - 3 \cdots$ ② ①, ②에 의하여 $n = - 10$ $\therefore mn = ( - 3 ) \times ( - 10 ) = 30$